圓周率π(Pi)－John pan

圓周率π(Pi).PNG

3月14日是「圓周率日」（Pi Day），因為圓周率π的數值大約是3.14。

最早有記錄的圓周率日大型慶祝，源自1988年三藩市的探索科學博物館（Exploratorium），由物理學家Larry Shaw跟該館員工及公眾圍繞館內圓形空間巡遊，然後一起吃果批（pie與pi同音）。探索科學博物館至今繼續每年慶祝圓周率日。2009年3月12日，美國眾議院通過無約束力決議，把當年的3月14日訂為「全國圓周率日」。

古代數學家的努力
圓周率π的定義非常簡單，相信大多數人在小學已經學過，就是「圓周與直徑的比率」，但要把它寫成數字並非易事。

古巴比倫及古希臘人在公元前千多年，已分別算出π的數值大約是25/8（3.125）及256/81（約3.1605）——當然誤差甚多。公元前約250年，古希臘數學家阿基米德（Archimedes）透過計算多邊形周界來估算圓周率，他計算出π介乎在223/71至22/7之間，22/7這個分數亦成為其中一個常用的圓周率近似值。

對於以往的數學家及科學家，計算圓周率的數值一直是項挑戰。中國數學家祖沖之在公元480年左右利用劉徽的割圓術，算出圓周率至小數點後第7個位，在其後800年內仍然是最準確的近似值。他亦發現π的近似值可以寫成分數355/113，乃分母小於16600的分數之中，最接近圓周率的一個。

無限不循環的π
雖然上文一直以分數來表達圓周率的近似值，然而在1761年，瑞士數學家林伯特（Johann Heinrich Lambert）證明了π是個無理數，也就是說，π不能寫成兩個整數的比例。由於所有由整數構成的分數，都可以寫成有限小數（如1/2）或者循環小數（如1/3），因此π只能是個無限不循環小數。

不過，有些數字就算是無理數，也可以是一些簡單方程式的解，例如√2（2的平方根）是個無理數，同時是方程式 x2 = 2 的其中一個答案。這類可以寫成「整系數多項式」——如 3x2+5x-7、-6x3+7x——的根的數字，就稱為代數數（algebraic number）。

如果π是個代數數，那麼我們就可以找到一條只有整數、加數、乘數和乘冪（整數次方）組成的方程式，其中一個答案會是π——這樣我們不用無限個數字，就能夠準確描述到π。可惜在1882年，德國數學家林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明了π是個「超越數」（transcendental number）——即不是代數數的數字。

突飛猛進
20世紀中期，當電腦誕生以後，數學家開始以電腦計算π的數值，從這時開始準確度就迅速增加，由原本幾百個小數位增至數千個，1958年達至1萬個小數位，1961年變成10萬，1973年已去到100萬。

隨着電腦速度以幾何級數增加，算出來的圓周率小數位也越來越多，目前的紀錄已經算至小數點後22,459,157,718,361個位（超過22兆）。這位紀錄保持者使用的電腦配置多達4個18核心處理器、1.25TB記憶體，仍然使用了105天來運算，得出的數據接近9TB。

現時計算π的那麼多個小數位，作用是測試電腦效能居多，雖然π在其他學科也有用途，不過就算要計算可觀測宇宙的大小，其實我們只需要39個小數位已經非常足夠——誤差值在1個氫原子的大小之內。詳細內容可以看這段影片介紹︰

圓周率只要算到小數點第39位，這足夠提供天文上計算宇宙太陽系的距離準確度，π=3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 42

圓周率π(Pi)39.PNG
「雜亂無章」的π？
數學家知道了π是個超越數，可是仍然不知道它是否「正規數」（normal number）——這是由法國數學家博來爾（Émile Borel）在1909年提出的概念，粗略來說，一個10進制正規數的特徵是，其小數部份不但每個數字（0至9）出現頻率均等，而且任何長度的數字串出現的頻率，就跟隨機抽中的機率一樣。例如「0」出現的頻率應是10%，「689」出現的頻率則應是0.1%。