如何用五邊形密鋪平面？數學家尋求答案的過程中，得力於業餘數學家的協助，發現多種可以密鋪平面的五邊形。
密鋪平面的圖案往往引人入勝，有種從有限延伸至無限平面的錯覺。古希臘數學家早已知道並證明，如果僅用一款正多邊形的話，就只有正三角形、正方形、正六邊形三種可以密鋪平面。證明並不困難，只要利用多邊形內角和公式便行。
假如放寬要求，不再規定要是正多邊形（每條邊長度一樣及每隻角相等），而接受任何凸多邊形（每一隻角均小於180°），事情就開始變得有趣︰凸七邊形仍然無法密鋪平面，多於七條邊的凸多邊形也不行，但有些凸五邊形可以。（除非特別注明，否則下文中「多邊形」均指凸多邊形。）
不過我們還是先由簡單的開始。所有三角形、四邊形都能夠密鋪平面︰任何三角形跟轉了180°的自己合在一起，就會成為一個平行四邊形，而我們知道平行四邊形能夠密鋪平面。
對於任何四邊形，由於其四隻角加起來會是360°，只要如下圖交錯排列就能夠密鋪平面。
1918年Karl Reinhardt在他的博士論文中探討這個問題，並證明了可以密鋪平面的六邊形雖然有無限多款，但都會屬於以下3類的其中之一，每一類都有若干角度及邊長上的限制，例如某些角加起來要等如360°、某些邊長度須相同等︰
在他的論文中，Reinhardt亦發現了5類可密鋪平面的五邊形，以下是其中一類，可以拼成正六邊形來密鋪平面︰
不過跟六邊形的情況不同，他未能證明只有這5類五邊形可以密鋪平面。要到1967年這個問題才有進展，當時在約翰·霍普金斯大學的基舒拿（Richard Brandon Kershner）發現了另外3類可密鋪平面的五邊形，令總數增加至8類。
在介紹其發現的論文中，基舒拿宣稱所有可密鋪平面的五邊形都不出這8個類別，他又說證明這個清單完整「非常費力」，將會在別處提出證明。然而他根本不可能證明到這一件事，因為尚有其他在當時未被發現的五邊形，同樣可以密鋪平面。
作家葛登能（Martin Gardner）得悉基舒拿的發現後，在1975年在《科學美國人》（Scientific American）雜誌的數學專欄上撰文介紹。大學讀哲學、未曾受過嚴格數學訓練的葛登能，擅長深入淺出解說數學謎題，吸引萬千讀者，也燃點了不少人對數學的興趣。而在密鋪平面的五邊形這個問題上，他更參與其中，推動數學發展。
文章刊出後，葛登能就收到電腦科學家Richard E. James III的一封信，附上另一類可以密鋪平面的五邊形，以及這個問題︰「你是否同意基舒拿漏了這個？」在給基舒拿的一封信中，葛登能以這個發現說明在數學界中，一個證明要得到專家共識接受才能算是證明。
Richard E. James III發現的五邊形排列。圖片來自Martin Gardner《Time travel and other mathematical bewilderments》一書，顏色經過修改以方便閱讀。
基舒拿回信時指，自己在舊文章曾提到「數學史上曾有一些被廣為接受的論證，最終被數學家指出證明中的缺漏…而每年世界各地的數學期刊中，也有一定論文指出過往有人宣稱已證明的陳述其實不正確」，只是在寫下有關段落時，不曾想過他本人終將成為其中一個例子。
家庭主婦懷斯（Marjorie Rice）讀了葛登能的文章後，亦開始探索密鋪平面的世界，她的家人不時見她坐在廚房秘密繪製圖案，她的女兒說︰「我那時候以為她只是在塗鴉。」在高中只讀了一年數學的懷斯，最終發現了4類可以密鋪平面的五邊形，以及多種密鋪平面的圖案。
在佛羅里達州出生的懷斯，在學期間曾跳兩級，跟較年長的同學一起學習。雖然她對於學習很有興趣，但貧窮及文化規範令她的家庭未有考慮她可能讀大學。1945年懷斯結婚，其後搬到華盛頓特區，懷斯那時候成為一位商業藝術家，直到兩人再搬到加州聖地牙哥市。
懷斯在一次訪問中提到，她認為如果能發現一些未有人見過的美麗圖案，會是非常美妙的事情。她亦在文章中指自己著迷於這個題目，希望了解各類五邊形為何如此獨特，但由於缺乏數學背景，她發展出一套自己的符號系統，並在數個月後發現新的可密鋪平面五邊形。
懷斯發現的其中兩款五邊形排列，以及她按此繪製的畫作。圖片由懷斯的女兒Kathy Rice提供。
1976年2月，懷斯把她的第一個發現寄給葛登能，而葛登能則把她的發現轉寄給其他有興趣的數學家，包括基舒拿和沙特施奈德（Doris Schattschneider），很快就確認這是新的一類五邊形。基舒拿寫信問懷斯如何發現，並承認曾自己錯誤排除了這一類五邊形。
當沙特施奈德檢視懷斯的首個發現時，她認為這個「第9類」五邊形跟基舒拿發現的「第7類」及「第8類」五邊形，可能同樣屬於另一個更大的家庭。於是沙特施奈德作出一項猜想，並告知葛登能。不夠兩星期後，懷斯來信，指出她也曾作同樣猜想，並證明了這猜想是錯的。
同一年，懷斯再發現了兩類五邊形，在1977年她又發現了一類，全部均前所未見。換言之，葛登能一篇文章換來5類可以密鋪平面的五邊形，令總數增至13類。
懷斯的筆記，圖片出自《The Mathematical Gardner》一書。
1985年，德國研究生Rolf Stein發現了第14類五邊形，此後30年問題一直未有進展。直到2015年，華盛頓大學貝色分校的3位數學家Casey Mann、Jennifer McLoud及David Von Derau利用演算法發現了第15類五邊形，撇除放大縮小外，這類五邊形只得一款，五隻角的角度比各邊長之間的比例均有規定。
基舒拿的故事教訓我們，即使數十年未有發現新的五邊形，也不能輕言「就只有這些」——除非有數學證明可以密鋪平面的五邊形只得15類。
法國CNRS的數學家拉奧（Michaël Rao）聽到數學界發現第15類五邊形後，決定徹底檢索，以完全為所有可密鋪平面的五邊形分類。今年5月，Rao把他的手稿放上網，宣稱已經徹底解決了問題——答案只有15類，不多不少。
在其證明中，拉奧首先證明可以密鋪平面的凸五邊形種類有限，他利用一些簡單的幾何公式去加入限制，例如五邊形的5隻角加起來必須是540°、每個頂點的角加起來必須是360°（如果碰到其他五邊形的角）或180°（碰到其他五邊形的邊時）。加入這些限制後，拉奧計算出371個可能，再以電腦驗證，發現全部可能情況都屬於已發現的15類五邊形之中。
對於未能發現新的可密鋪平面五邊形，拉奧感到失望，但其他專家則表示，能夠證明只有15類五邊形比起發現「新品種」更加重要，除了可以徹底解決這個問題外，更能用類似方法挑戰相關難題。
證明克卜勒猜想的數學家Thomas Hales獨立驗證了拉奧證明中最重要的一半，顯示當中應該沒有出錯，他對於拉奧的證明有信心。不過，這份手稿仍然未經同行審查，不能太快下定論。假如拉奧的證明沒錯，懷斯就是自近百年前提出五邊形密鋪平面問題的Reinhardt以外，發現最多五邊形類別的一人。晚年患上失智症的懷斯於今年7月2日與世長辭，終年94歲，永遠無法得悉結果，不過她對攻克這個問題的貢獻將永不磨滅。
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